Construction du pentagone et du décagone selon Ptolémée dans l'Almageste

L'almageste ou composition mathématique est un ouvrage écrit par Ptolémée en Grec vers 150 AC. Le premier livre comporte des notions mathématiques concernant la construction
du pentagone et du décagone, du théorème de Ptolémée sur une relation des quadrilatères dont les sommets sont sur un cercle ainsi qu'une table des cordes, équivalent d'une table des
sinus au demi-degré près.


Pentagone

Almageste  ( traduit en Français par  Pierre Paquette)

 
Livre 1 Chapitre 9

Posons d'abord un demi-cercle ABG dont le centre est D et le diamètre ADG. Traçons DB perpendiculaire à AG en D. Plaçons le point E à égale distance de D et de G, et joignons-le à B, et traçons EZ de même longueur que EB, pour tracer ZB.

Je dis que ZD est le côté d’un décagone [régulier], et BZ celui d’un pentagone [régulier].

Puisque le point E est bissecteur de la ligne droite DG et que la ligne DZ est adjacente à cette dernière,

GZ · ZD + ED² = EZ²

Car GZ.ZD = (EZ + EG) . ( EZ – ED)

Mais EG =ED car E milieu de DG donc GZ.ZD = (EZ + ED) . ( EZ – ED) = EZ² - ED²

 et EB² = ED² + DB²,  GZ · ZD  = EZ² - ED² = EZ² + DB²- EB² = DB² ( car EZ = EB)

donc GZ · ZD = DG².

ZG a donc été divisé en proportions extrême et moyenne en D.

Puisque le côté d’un hexagone et celui d’un décagone, lorsqu’ils sont inscrits dans le même cercle, forment les proportions extrême et moyenne d’une même ligne droite, et puisque GD, étant un rayon, représente le côté de l’hexagone, DZ est égal au côté du décagone.

De même, puisque le carré du côté d’un pentagone est égal à la somme des carrés sur les côtés de l’hexagone et du décagone lorsqu’ils sont inscrits sur le même cercle, et, dans le triangle droit BDZ, le carré de BZ est égal à la somme des carrés de BD, qui est le côté de l’hexagone, et de DZ, qui est le côté du décagone, il s’ensuit que BZ est égal au côté du pentagone.


Decagone et Pentagone
 On montre ici la figure obtenue suite au fait que ZB est de longueur le côté du pentagone et ZD, celui du décagone.
On peut donc tracer le cercle de centre B, de rayon BZ qui coupe le cercle initial en I et H.
De même le cercle de centre I et de rayon IB coupe le cercle en R, celui de centre H et de rayon BH le coupe en P.
BIRPH est notre pentagone.
Pour reporter ZD, côté du décagone, on trace les perendiculairesen Z à AD et en B à Bd qui se coupent en J.
Le cercle de centre B et de rayon BJ coupe le cercle initial en T et K qui sont les deux premiers sommets du dédcagone.
On joint TB, TI, BK KH pour avoir les 4 premiers côtés.
Des cercles de centre I, de rayon IT et ainsi de suite permettent d'obtenir les 10 sommets du décagone BKHVPWRUIT
On pourrait facilement dessiner un hexagone sur cette figure à partir du sommet B et des côtés qui valent le rayon BD.