Construction du pentagone régulier -méthode de Weidenholzer

Cette construction aurait été publié en 1886 dans les annales de Grunert par Weidenholzer
Elle est très simple.

On part du cercle dans lequel on veut inscrire le pentagone. On trace un demi-diamètre AB avec B (1, 0). Ensuite on construit le point C ( 0, 2) et on trace le segment AC. On trace ensuite la bissectrice de l'angle ABC qui coupe en E le segment AC. On trace ensuite l'arc de cercle de centre B et de rayon BE qui coupe le cercle en H.(en jaune) Le segment BH en rouge est le premier côté du pentagone cherché, que l'on pourra construire en reportant BH le long du cercle. Démonstration : On peut démontrer que la longueur du côté d'un pentagone inscrit dans un cercle de rayon 1 est :   ( (5 - 5½)/2)½ Calculons la longueur de BH, qui est égal à BE par construction D'après le théorème de la bissectrice on a : EA/EC = AB/CB= 1/5½ EA/(2-EA) = 1/5½ 5½ *EA = 2 -EA a=2Rsin⁡π5=5−52 R=3−φ R≈1,176 REA = 2/(1+ 5½) = 2*(5½ - 1)/4 = (5½ - 1)/2 EB2 = AB2 + EA2 EB2 = 1 + (6 - 2*5½ )/4 = (5-5½)/2 C'est donc bien la valeur attendue.

Cette construction permet de construire la bissectrice de l'angle ABC de façon originale avec quelques cercles et quelques segments. On part du cercle bleu donné avec son centre G On trace la droite JQ, un diamètre. Les arc de cercles de centre Q et de rayon JQ, et de centre J et de rayon JQ se croisent en E au Nord. La demi-droite issue du centre G et passant par E croise le cercle bleu en F. On trace le cercle de centre F et de rayon FG qui donne le point H en intersection Si Q (1,0) alors H (0,2). On trace le segment HQ qui coupe l'arc JE en I. ( Donc QI = 2) Le segment IJ coupe le cercle bleu en K. On trace KQ qui est perpendiculaire à IJ puisque JKQ est un triangle rectangle, ayant pour base un diamètre. L est le point d'intersection de HG et KQ. Les points N et M s'obtienent en reportant la longueur LQ avec un arc de cercle de centre Q et rayon QL. Les autres points du pentagone s'obtient en traçant deux autres arcs de cercle de centre N et M et de même rayon. Pourquoi KQ est-elle la bissectrice  de l'angle GQH ? Dans le triangle isocèle JQI ( QI = JQ), la hauteur et la bissectrice sont confondus.