Construction du pentagone régulier à l'aide d'un triangle d'or

Cette construction utilise le triangle d'or pour construire l'angle au centre du pentagone

On construit un triangle d'or externe à un cercle de centre O et de rayon  OE de longueur 1. On considère les segments AB et BC, éléments du carré entourant le cercle initial dont le côté vaut deux rayons. Les segments AB et BC sont tangents au cercle et perpendiculaire entre eux. On trace un arc de cercle de rayon EC qui coupe la dem-droite AB en D. EC= √5 d'après Pythagore appliqué à EBC  donc ED = √5 et AD = √5+1 Soit I le milieur de AD. AI =ID = (√5+1)/2 On trace donc deux arcs de cercles avec le compas où on reporte la distance AI à partir de O et E qui se coupent en H. EO = 1, EH = OH = (√5+1)/2 on a donc un triangle d'or en jaune. L'angle EOH est donc de 72°. Le segment OH coupe le cercle en M et EM est le premier côté du pentagone régulier (en rouge). On peut construire les autres sommets N, P, Q en reportant au compas le segment EM et en considérant les intersections avec le cercle d'origine.