Théorème de Ptolémée dans l'Almageste

L'almageste ou composition mathématique est un ouvrage écrit par Ptolémée en Grec vers 150 AC. Le premier livre comporte des notions mathématiques concernant la construction
du pentagone et du décagone, du théorème de Ptolémée sur une relation des quadrilatères dont les sommets sont sur un cercle ainsi qu'une table des cordes, équivalent d'une table des
sinus au demi-degré près.

Ptolémée

 Le théorème de Ptolémée sur les quadrilatère inscriptibles dit que le produit des diagonales est égal à la somme des 2 produits des côtés opposés du quadrilatère.
Il est expliqué dans l'Almageste  ( traduit en Français par  Pierre Paquette) car il lui sert ensuite pour calculer les longueurs des cordes.

Dans notre exemple : AC * BD = AB * CD + BC * AD

Démonstration :
On choisit un point E sur la diagonale BD de façon que les angles DAC et EAB soient égaux.
On peut choisir que DAC sera plus petit que CAB, sinon on ferait la même chose avec l'angle CAB.

D'après le théorème de l'angle inscrit, les angles DCA et DBA ( ou EBA)  sont égaux.
Les triangles ADC  et AEB sont semblables.
On a donc une relation de proportionalité entre leurs côtés.
AB/AC = BE/DC et donc AB *DC = AC * BE
De même les angles BDA et BCA sont égaux.
Les angles CAB et DAE sont égaux comme somme de deux angles égaux et de l'angle CAE

Les triangles EDA et BCA sont donc également semblables
On en déduit une relation de proportionalité entre leurs côtés.
ED/BC = AD/AC et donc  AD * BC = AC * ED

En sommant les deux égalité on obtient
AB *DC + AD * BC =   AC * BE + AC * ED =  AC * (BE + ED) = AC * BD

Le théorème est donc démontré.

AC * BD = AB * CD + BC * AD