Problème

Dans un triangle rectangle, deux cercles de même diamètre, tangents entre eux, sont tangents à l'hypothènuse. Quel est la valeur du diamètre des cercles, sqchqnt que les deux cotés de l'angle droit sont de 12 sun et 9 sun.
Le sun est une unité de longueur à l'époque d'edo qui vaut 3,03 centimètres.

Solution 1 :



AB vaut 9, BC vaut 12 donc AC vaut 15 d'aorès le théorème de Pythagore. 9² + 12² = 225 = 15²

On note x les deux segments égaux issus de C et tangents à un des cercles et y les segments issus de A tangents à l'autre cercle.

On apelle O1 et O2 les centres des cercles de rayon r.
De O1, on abaisse la perpendiculaire à BC, de O2 la perpendicuaire à AB qui se coupent en K.
Les trinagles O1O2K et ABC sont semblables.
On obtient donc
    O1K/2r = AB/AC= 9/15 = 3/5 donc O1K = 6r / 5
    O2K/2r = BC/AC = 12/15 = 4/5 donc O2K = 8r/5
Mais
O1K = AB - r - y = 9 - r - y
O2K = BC - r -x = 12 - r - x

et AC = x + y + 2r = 15

On obtient donc le système
x + y + 2r = 15
9  - r  -y  = 6r/5 --> y = 9 - 11r/5
12 - r -x = 8r/5 --> x = 12 - 13r/5

et donc
9 - 11r/5 + 12 - 13r/5 + 2r = 15
14r/5 = 6

Donc r = 30/14 = 15/7